Représentation d'un tas de sable par son DUAL
Exemples :
Si la base est un quadrilatère alors le tas de sable a 4 faces que l'on représente par 4 points numérotés de 1 à 4.
Le quadrilatère formé par ces 4 points est appelé le dual du tas de sable.
Les côtés du dual, correspondent aux arêtes des faces qui partaient de la base.
Les diagonales du dual, correspondent aux arêtes sommitales du tas de sable.
Les côtés de la base du tas de sable (en pointillés) ne sont plus représentés sur le dual.
Le dual a 4 sommets car le tas de sable a 4 faces. Mais la forme du quadrilatère de base ne se retrouve plus dans le dual.
Comment trouver la formule d’un tas de sable à partir de son dual ?
On compte le nombre de segments arrivant en chaque point.
Ils correspondent aux arêtes bordant la face concernée.
Il suffit d’ajouter 1 au résultat, pour l’arête de la base.
Exemple :
On remarquera que les côtés des faces qui appartiennent à la base ne se retrouvent pas dans le dual.
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Pour la face 1 on a : 2 + 3 + 1 = 6 Pour la face 2 on a : 2 + 0 + 1 = 3 Pour la face 3 on a : 2 + 2 + 1 = 5 Pour la face 4 on a : 2 + 0 + 1 = 3 Pour la face 5 on a : 2 + 2 + 1 = 5 Pour la face 6 on a : 2 + 1 + 1 = 4 Pour la face 7 on a : 2 + 0 + 1 = 3 |
Comment obtenir directement, à partir du dual, tous les tas de sable pour une base donnée ?
On part de la configuration où toutes les diagonales partent du point 1.
Ceci correspond à la formule : n 3 4 4 …. 4 3 .
Ensuite, dans un ordre lexicographique, on enlève des diagonales du point 1 pour les mettre sur les places laissées vides.
Exemples : ---- correspond aux diagonales ôtées.
Cette méthode fournit directement chaque tas de sable avec sa formule ; le n uplet trouvé est dans le bon ordre.
Par contre les formules ne sont pas trouvées par ordre décroissant (voir avec n>7).
Des symétries, « évidentes ? », permettent de limiter le nombre de cas à examiner pour les diagonales à ôter.
